Sistema de Numeración


Los incas tuvieron, al igual que los mayas 
e hindúes, un sistema de numeración basado 
en el valor de posición de los signos, los 
cuales en vez de ser gráficos, tenían la 
forma de nudos situados a lo largo de una 
cuerda y eran llamados quipus.
La numeración incaica, por ser decimal, 
se identifica, más que la de los Mayas, con 
la numeración de la India y presenta, 
constantemente, gran parecido con el sistema 
que practicamos en la actualidad mediante el 
empleo de los denominados números arábigos.
Esto significa que con los quipus se podían 
realizar perfectamente las operaciones de 
cómputo, sin tener que recurrir forzosamente 
al empleo del ábaco, como tuvieron que hacerlo 
aquellos pueblos que desconocieron el valor de 
posición de las cifras.
Para los incas por ejemplo, la suma de tres 
cantidades: 352, 223 y 324 consistía simplemente 
en anudar estos números en tres cuerdas iguales, 
dispuestas una a continuación de la otra.  
La operación se efectuaba sumando los nudos 
horizontalmente de izquierda a derecha o 
viceversa, comenzando por aquellos situados en 
la parte inferior de las cuerdas, que representan 
las unidades; el total se consignaba en otra 
cuerda que estaba a continuación de la del 
último sumado.
Acertado estuvo H. Wassen cuando opinó que 
"quien haya visto varios quipus comprenderá que 
hubiera sido poco práctico llevar cuentas 
deshaciendo los nudos, a veces muy fuertes y 
bien hechos."
Es por esto que los peruanos, cuando no tenían 
que dejar constancia en el quipu del cómputo, 
o sea de la operación realizada para obtener 
un determinado dato numérico, preferían calcular 
con piedrecitas u otros materiales parecidos, 
en especial granos de maíz o frejoles y anudar 
luego los resultados obtenidos en los hilos 
del quipus.
Esta manera de calcular se llamó Yupani, que 
quiere decir "hacer cuentas".
Aparte de la forma de calcular, que fue 
común a todo el sector andino, los aymaras 
llamaban a sus números así:
UNO         =MAYA
DOS          =PAYA
TRES         =KIMSA
CUATRO     =PUSI
CINCO       =PHISQA
SEIS = SUXTA.
SIETE = PAQALLQU.
OCHO = KIMSAQALQU.
NUEVE = LLÄTUNKA.
Si nada se coloca en la columna de las 
unidades equivale a 
CERO = CH'USA.
Una vez que ha completado con piedrecitas 
la columna de las Unidades
DIEZ = TUNKA,
se pide que, en su reemplazo, se coloque 
una piedra en la columna de las Decenas.
Así, si continúa agregando piedrecitas en 
la columna de las Unidades, con una más formará el
ONCE = TUNKA MAYANI
y así sucesivamente.
OPERACIONES ARITMETICAS CON LA YUPANA
LA SUMA
La operación más sencilla es la suma, que 
los incas ejecutaban disponiendo las fichas 
correspondientes a los varios sumandos en 
los respectivos casilleros de cada una de 
las columnas del ábaco.
A fin de comprender el procedimiento que 
se debió seguir para sumar con la yupana, 
escogeremos las cifras 21.512, 11.013, 20.110, 
y 1.001 que, sumadas horizontalmente, de acuerdo 
con el sencillo método de agrupación de fichas 
en un solo casillero, arrojan un total de 53.636.
El planteamiento de la operación y la manera 
de realizarla es como sigue:
1º. Comenzando por la primera columna de la 
izquierda, se colocan dos fichas en la casilla 
de primera posición (unidades), una ficha en 
la de segunda posición (decenas), cinco fichas 
en la de tercera posición (centenas), una ficha 
en la de cuarta posición (millares), y dos fichas 
en la de quinta posición (decenas de millares), 
con lo cual se consigna la cantidad 21.512.
Igual procedimiento se sigue para representar 
las otras tres cantidades o números en las columnas.
2º. En seguida se reúnen en la cuarta columna 
todas las fichas de los otros casilleros, de 
acuerdo con la respectiva altura o posición.
El resultado será el siguiente: seis fichas 
en el casillero de primera posición, tres en 
el de la segunda, seis en el de la tercera, 
tres en el de la cuarta y cinco en el de la 
quinta; numeración que, leída verticalmente 
de arriba hacia abajo, resulta 53.636 y 
representa el total de la suma.
Preciso es también recordar que los incas 
conocieron el proceso de simplificación.  
Por ejemplo, si las cantidades hubieran sido: 
10.568, 8.389, 4.265 y 4.434, comprobaríamos 
que el quipucamayo, después de haber 
distribuido las fichas y haberlas juntado 
en la última columna, se vio obligado a 
simplificarlas comenzando por el casillero 
de primera posición, en el cual, de las 
fichas reunidas, (26) dejaría sólo aquellas 
de las unidades (6) y trasladará las restantes 
(20)  al casillero superior de segunda posición, 
pero convertidas en decenas o sea, dos fichas.
El mismo proceso si es que fuera necesario 
realizar en las otras columnas.
Un ejemplo de uso de yupana es el siguiente:
PARA RESTAR:
Podemos imaginarnos que se necesitara efectuar 
la resta:
16.222- 1.665;
1º. Se comienza por plantear la operación 
mediante la colocación en la primera 
columna de las fichas que forman el minuendo 
(16.222) y en la segunda columna aquellas 
que indican el sustraendo ( 1.665)
2º. A continuación se retira del casillero 
de primera posición de la primera columna 
(minuendo) un número de fichas igual al de 
la segunda columna (sustraendo); pero como 
esto resulta imposible, pues no se pueden 
retirar cinco fichas donde sólo hay dos, 
se tendría que "pedir prestado" una ficha 
del casillero de segunda posición de la 
primera columna que, al descender a la 
primera posición quedaría convertido en 
diez fichas propias de este casillero, 
las cuales, agregadas a las dos originales, 
sumarían doce; de ellas se retirarían las 
cinco del sustraendo, permaneciendo siete 
fichas en el casillero.
Enseguida, se aplica el mismo procedimiento 
para la resta de los casilleros de segunda 
y tercera posición: de cada uno de ellos se 
hace descender una ficha que, convertida en 
diez y agregada a las originales haría posible 
retirar el número indicado en el sustraendo; 
en otras palabras, de las once fichas de cada 
uno de estos casilleros se retirarían seis, 
quedando solamente cinco.
En la cuarta posición, en que no se necesita 
"pedir prestado" ninguna ficha, se retiraría 
simplemente una del conjunto original de cinco, 
quedando en el casillero cuatro fichas. 
Por último, en la quinta posición, la ficha 
del minuendo permanecería en su mismo casillero 
porque el casillero de la columna del sustraendo, 
por estar vacía, indica cero fichas. 
LA MULTIPLICACION 
Para la operación aritmética multiplicación 
que, en última instancia, se basan en la suma 
y la resta, es difícil reconstruir acertadamente 
el procedimiento que los incas idearon para 
evitarse la tarea de sumar y restar sucesivamente.
Algunos autores suponen que la yupana era 
utilizada de la siguiente manera:
Por ejemplo, si se quisiera multiplicar     
254 x 137,
1º. Identificaremos las fichas blancas y negras 
de la siguiente manera;Diez fichas negras 
representan una blanca.
En los casilleros de la columna E están todas 
las fichas que se han agrupado al sumarlas 
diagonalmente con el fin de obtener el 
resultado de la multiplicación el cual, 
luego de las requeridas simplificaciones, 
es consignado en la columna F.
2º. El cálculo se realizaba colocando 
primeramente a lo largo del margen izquierdo 
del tablero, los marcadores o fichas 
correspondientes al multiplicando y, a 
lo largo del margen superior, los del 
multiplicador, de tal manera que las 
primeras posiciones de mayor rango 
quedasen más cerca de la esquina superior 
izquierda
Cuando se empleaba la yupana para 
multiplicar o dividir, la primera columna 
vertical izquierda y la primera fila 
horizontal superior, se destinaban 
exclusivamente para consignar el 
multiplicando y el multiplicador o 
el dividendo y el divisor.
3º. Se procedía a llenar los casilleros 
con el producto parcial de los guarismos 
correspondientes a su propia fila y columna.  
Esto se hacía de un modo muy sencillo: 
juntando en la respectiva casilla tantos 
grupos de fichas del multiplicador 
(fila superior) como número de fichas del 
multiplicando (columna izquierda).  
Por ejemplo, en las columnas B,C y D, 
las 2, 6 y 14 fichas de los casilleros de 
tercera posición (centenas), las 5, 15 y 
35 de segunda posición (decenas) y las 4, 
12 y 28 de primera posición (unidades) 
indican que en ellos se han colocado uno, 
tres y siete grupos de dos, cinco y cuatro 
fichas.
Una vez establecido en las casillas el 
producto parcial de cada término del 
multiplicando y del multiplicador, se 
juntaban en los compartimientos de la 
columna E todas las fichas que resultaren 
de la reunión realizada a través de los 
casilleros en forma diagonal y ascendente.
Por último, dichas fichas, ya distribuidas 
por altura en los casilleros de la columna E, 
eran simplificadas y reducidas en los de la 
columna F como resultado definitivo de la 
operación que, para el ejemplo de multiplicación 
que hemos puesto, es 34.798.
El principal inconveniente que debió presentarse 
fue el excesivo amontonamiento de fichas en 
algunos casilleros.  Sin embargo, estamos 
seguros que este obstáculo fue superado 
fácilmente mediante el empleo de fichas de 
color distinto a las corrientes, para señalar 
conjuntos de estas últimas; no sería de extrañar, 
por ejemplo, que se indicase con valor de diez 
frejoles o maices negros a uno blanco o viceversa, 
tal como lo hicieron los mayas al conceder valor 
de cinco marcas (frejoles o maices) a una barra 
o palito de madera.
El empleo de la Yupana moviendo fichas dentro 
de los casilleros, era una manera de contar 
sumamente práctica e, indudablemente, mucho 
más fácil que nuestro sistema de hacer las 
operaciones aritméticas con lápiz y papel, 
puesto que tenía la ventaja de no requerir 
de tablas de calcular memorizadas ni de 
tener que hacer mentalmente las sumas y 
restas de los productos parciales de las 
operaciones.
Actualmente su uso evitaría a muchos de 
nuestros escolares no muy inclinados a las 
matemáticas, la ingrata obligación de 
aprender de memoria la tabla pitagórica 
y, más que todo, el engorro de tener que 
contar con los dedos.
DIVISION:
La división también es perfectamente 
factible en este sistema, aunque un autor 
dice que no supone, hayan dividido más que 
por pequeñas cantidades repartiendo cosas, 
otro autor explica un método que pudieron 
haber usado, que es el siguiente:
En realidad se procede de manera similar 
a la que conocemos.  Tomemos el ejemplo
3.753 : 27 = 139.
Colocamos el numerador en la yupana.  
En la fila superior (A4) tenemos 3 que 
no es divisible por 27.  Pasamos entonces 
a la fila siguiente. 
Entre las filas 3 y 4, tenemos 37.  
Visualmente, sacamos 27 una vez (2 decenas 
de A4 y 7 unidades de A3 y B3).  Nos queda 
una ficha en A4, y colocamos una ficha como 
respuesta en el lugar de las centenas, fuera 
de la yupana.
Aquí surge un problema, porque para obtener 
7 en la fila 2, sería necesario llenar A2 
con 5 fichas, pero esto no es posible por 
la presencia de una ficha, salvo que se 
haga una operación mental o que se rompa 
la regla de no llenar los casilleros con 
más fichas de las previstas.  Si se quiere 
evitar ambas cosas, es necesario cambiar 
la ficha de A2 por dos fichas en B1.  
Una vez procedido así, y colocadas las 5 
fichas en A2, se resta una vez más 27, y 
se coloca una ficha más en la respuesta 
de decenas.
Entre las filas 2 y 3, quedan 23 decenas 
que ya no pueden ser divididas.  Bajando 
a las unidades, observamos de inmediato 
un 27 que puede ser restado (2 fichas en 
A2 + una ficha en B1 + 2 fichas en A1).
Se sacan las fichas correspondientes y 
se coloca una ficha en la respuesta de 
las unidades.  Y así sucesivamente.
En algún momento volveremos a encontrar 
a nivel de la fila 1 la dificultad con 
la que tropezamos ya anteriormente, es 
decir, la imposibilidad de cambiar una 
ficha B por 5 fichas A.  Nada nos impide 
entonces, bajar a un nivel inferior, con 
otra yupana o sin ella, para volver luego 
a colocar las fichas en su sitio cuando 
haya espacio.
De ese modo, en la división se va restando 
sucesivamente, en cada nivel, el valor del 
divisor, el número de veces que sea necesario.
Conclusión:
El empleo de la Yupana moviendo fichas 
dentro de los casilleros, era una manera 
de contar sumamente práctica e, indudablemente, 
mucho más fácil que nuestro sistema de hacer 
las operaciones aritméticas con lápiz y papel, 
puesto que tenía la ventaja de no requerir de 
tablas de calcular memorizadas ni de tener que 
hacer mentalmente las sumas y restas de los 
productos parciales de las operaciones.
Actualmente su uso evitaría a muchos de nuestros 
escolares no muy inclinados a las matemáticas, 
la ingrata obligación de aprender de memoria 
la tabla pitagórica y, más que todo, el engorro 
de tener que contar con los dedos.

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s


Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

%d personas les gusta esto: