La Yupana


La Yupana es un ábaco que fue utilizado por
los contadores (quipucamayos)en el Imperio
de los Incas.
Yupana es un vocablo quechua que significa
"lo que sirve para contar".
El diseño genérico de la yupana como
material educativo se basa en la tabla
presentada por GUAMAN POMA DE AYALA a niños
monolingües-hablantes y es:
Donde U, D, C, UM y DM significa Unidades,
Decenas, Centenas, Unidades de Mil, Decenas
de Mil, respectivamente.
Este diseño genérico, para ser utilizado en
la enseñanza-aprendizaje de Matemática, debe
adecuarse en función de la edad del educando
y en el nivel de Educación Básica, reduciendo
o aumentando el número de columnas, según
corresponda.
Así, para niños de 6 a 7 años, la yupana sólo
tendrá dos columnas: de las Unidades y de las
Decenas (0 a 99).
A medida que el alumno va ampliando su mundo
numérico, se le van agregando columnas: hasta
el 999, tres columnas; hasta el 9.999, cuatro
columnas y así sucesivamente.
USO DE LA YUPANA
Cada piedrecita en la columna de las Unidades
significa una unidad:
UNO = MAYA.
DOS = PAYA.
TRES = KIMSA.
CUATRO = PUSI.
CINCO = PHISQA.
SEIS = SUXTA.
SIETE = PAQALLQU.
OCHO = KIMSAQALQU.
NUEVE = LLÄTUNKA.
Si nada se coloca en la columna de las
unidades equivale a 
CERO = CH'USA.
Una vez que ha completado con piedrecitas
la columna de las Unidades
DIEZ = TUNKA,
se pide que, en su reemplazo, se coloque
una piedra en la columna de las Decenas.
Así, si continúa agregando piedrecitas en
la columna de las Unidades, con una más
formará el
ONCE = TUNKA MAYANI
y así sucesivamente.
OPERACIONES ARITMETICAS CON LA YUPANA
LA SUMA
La operación más sencilla es la suma, que
los incas ejecutaban disponiendo las fichas
correspondientes a los varios sumandos en los
respectivos casilleros de cada una de las
columnas del ábaco.
A fin de comprender el procedimiento que se
debió seguir para sumar con la yupana,
escogeremos las cifras 21.512, 11.013, 20.110,
y 1.001 que, sumadas horizontalmente, de acuerdo
con el sencillo método de agrupación de fichas
en un solo casillero, arrojan un total de 53.636.
El planteamiento de la operación y la manera de
realizarla es como sigue:
1º. Comenzando por la primera columna de la
izquierda, se colocan dos fichas en la casilla de
primera posición (unidades), una ficha en la de
segunda posición (decenas), cinco fichas en la
de tercera posición (centenas), una ficha en la
de cuarta posición (millares), y dos fichas en
la de quinta posición (decenas de millares), con
lo cual se consigna la cantidad 21.512.
Igual procedimiento se sigue para representar las
otras tres cantidades o números en las columnas.
2º. En seguida se reúnen en la cuarta columna
todas las fichas de los otros casilleros, de
acuerdo con la respectiva altura o posición.
El resultado será el siguiente: seis fichas
en el casillero de primera posición, tres en
el de la segunda, seis en el de la tercera,
tres en el de la cuarta y cinco en el de la
quinta; numeración que, leída verticalmente
de arriba hacia abajo, resulta 53.636 y
representa el total de la suma.
Preciso es también recordar que los incas
conocieron el proceso de simplificación.
Por ejemplo, si las cantidades hubieran sido:
10.568, 8.389, 4.265 y 4.434, comprobaríamos
que el quipucamayo, después de haber distribuido
las fichas y haberlas juntado en la última
columna, se vio obligado a simplificarlas
comenzando por el casillero de primera posición,
en el cual, de las fichas reunidas, (26) dejaría
sólo aquellas de las unidades (6) y trasladará
las restantes (20)  al casillero superior de
segunda posición, pero convertidas en decenas o
sea, dos fichas.
El mismo proceso si es que fuera necesario
realizar en las otras columnas.
Un ejemplo de uso de yupana es el siguiente:
PARA RESTAR:
Podemos imaginarnos que se necesitara
efectuar la resta:
16.222- 1.665;
1º. Se comienza por plantear la operación
mediante la colocación en la primera columna
de las fichas que forman el minuendo (16.222)
y en la segunda columna aquellas que indican
el sustraendo ( 1.665)
2º. A continuación se retira del casillero
de primera posición de la primera columna
(minuendo) un número de fichas igual al de
la segunda columna (sustraendo); pero como
esto resulta imposible, pues no se pueden
retirar cinco fichas donde sólo hay dos, se
tendría que "pedir prestado" una ficha del
casillero de segunda posición de la primera
columna que, al descender a la primera posición
quedaría convertido en diez fichas propias de
este casillero, las cuales, agregadas a las
dos originales, sumarían doce; de ellas se
retirarían las cinco del sustraendo, permaneciendo
siete fichas en el casillero.
Enseguida, se aplica el mismo procedimiento
para la resta de los casilleros de segunda y
tercera posición: de cada uno de ellos se hace
descender una ficha que, convertida en diez y
agregada a las originales haría posible retirar
el número indicado en el sustraendo; en otras
palabras, de las once fichas de cada uno de
estos casilleros se retirarían seis, quedando
solamente cinco.
En la cuarta posición, en que no se necesita
"pedir prestado" ninguna ficha, se retiraría
simplemente una del conjunto original de cinco,
quedando en el casillero cuatro fichas. 
Por último, en la quinta posición, la ficha
del minuendo permanecería en su mismo casillero
porque el casillero de la columna del sustraendo,
por estar vacía, indica cero fichas. 
LA MULTIPLICACION 
Para la operación aritmética multiplicación
que, en última instancia, se basan en la suma y
la resta, es difícil reconstruir acertadamente
el procedimiento que los incas idearon para
evitarse la tarea de sumar y restar sucesivamente,
Algunos autores suponen que la yupana era
utilizada de la siguiente manera:
Por ejemplo, si se quisiera multiplicar

                   254 x 137,
1º. Identificaremos las fichas blancas
y negras de la siguiente manera;
Diez fichas negras representan una blanca.
En los casilleros de la columna E están
todas las fichas que se han agrupado
al sumarlas diagonalmente con el fin
de obtener el resultado de la
multiplicación el cual, luego de las
requeridas simplificaciones, es
consignado en la columna F.
2º. El cálculo se realizaba colocando
primeramente a lo largo del margen
izquierdo del tablero, los marcadores
o fichas correspondientes al multiplicando
y, a lo largo del margen superior, los
del multiplicador, de tal manera que las
primeras posiciones de mayor rango
quedasen más cerca de la esquina
superior izquierda
Cuando se empleaba la yupana para
multiplicar o dividir, la primera columna
vertical izquierda y la primera fila
horizontal superior, se destinaban
exclusivamente para consignar el
multiplicando y el multiplicador o el
dividendo y el divisor.
3º. Se procedía a llenar los casilleros
con el producto parcial de los guarismos
correspondientes a su propia fila y columna.
Esto se hacía de un modo muy sencillo:
juntando en la respectiva casilla tantos
grupos de fichas del multiplicador
(fila superior) como número de fichas
del multiplicando (columna izquierda).
Por ejemplo, en las columnas B,C y D,
las 2, 6 y 14 fichas de los casilleros
de tercera posición (centenas), las 5,
15 y 35 de segunda posición (decenas)
y las 4, 12 y 28 de primera posición
(unidades) indican que en ellos se han
colocado uno, tres y siete grupos de
dos, cinco y cuatro fichas.
Una vez establecido en las casillas
el producto parcial de cada término
del multiplicando y del multiplicador,
se juntaban en los compartimientos de
la columna E todas las fichas que
resultaren de la reunión realizada
a través de los casilleros en forma
diagonal y ascendente.
Por último, dichas fichas, ya
distribuidas por altura en los
casilleros de la columna E, eran
simplificadas y reducidas en los
de la columna F como resultado
definitivo de la operación que,
para el ejemplo de multiplicación
que hemos puesto, es 34.798.
El principal inconveniente que debió
presentarse fue el excesivo amontonamiento
de fichas en algunos casilleros.  Sin
embargo, estamos seguros que este obstáculo
fue superado fácilmente mediante el empleo
de fichas de color distinto a las corrientes,
para señalar conjuntos de estas últimas; no
sería de extrañar, por ejemplo, que se
indicase con valor de diez frejoles o maices
negros a uno blanco o viceversa, tal como lo
hicieron los mayas al conceder valor de cinco
marcas (frejoles o maices) a una barra o
palito de madera.
El empleo de la Yupana moviendo fichas
dentro de los casilleros, era una manera
de contar sumamente práctica e, indudablemente,
mucho más fácil que nuestro sistema de hacer
las operaciones aritméticas con lápiz y papel,
puesto que tenía la ventaja de no requerir de
tablas de calcular memorizadas ni de tener que
hacer mentalmente las sumas y restas de los
productos parciales de las operaciones.
Actualmente su uso evitaría a muchos de
nuestros escolares no muy inclinados a las
matemáticas, la ingrata obligación de aprender
de memoria la tabla pitagórica y, más que todo,
el engorro de tener que contar con los dedos.
DIVISION:
La división también es perfectamente
factible en este sistema, aunque un autor
dice que no supone, hayan dividido más que
por pequeñas cantidades repartiendo cosas,
otro autor explica un método que pudieron
haber usado, que es el siguiente:
En realidad se procede de manera similar a
la que conocemos.  Tomemos el ejemplo
3.753 : 27 = 139.
Colocamos el numerador en la yupana.
En la fila superior (A4) tenemos 3 que
no es divisible por 27.  Pasamos entonces
a la fila siguiente. 
Entre las filas 3 y 4, tenemos 37.
Visualmente, sacamos 27 una vez (2 decenas
de A4 y 7 unidades de A3 y B3).  Nos queda
una ficha en A4, y colocamos una ficha como
respuesta en el lugar de las centenas, fuera
de la yupana.
Aquí surge un problema, porque para obtener
7 en la fila 2, sería necesario llenar A2
con 5 fichas, pero esto no es posible por
la presencia de una ficha, salvo que se
haga una operación mental o que se rompa
la regla de no llenar los casilleros con
más fichas de las previstas.  Si se quiere
evitar ambas cosas, es necesario cambiar
la ficha de A2 por dos fichas en B1.  Una
vez procedido así, y colocadas las 5 fichas
en A2, se resta una vez más 27, y se coloca
una ficha más en la respuesta de decenas.
Entre las filas 2 y 3, quedan 23 decenas
que ya no pueden ser divididas.  Bajando
a las unidades, observamos de inmediato
un 27 que puede ser restado (2 fichas en
A2 + una ficha en B1 + 2 fichas en A1).
Se sacan las fichas correspondientes y se
coloca una ficha en la respuesta de las
unidades.  Y así sucesivamente.
En algún momento volveremos a encontrar
a nivel de la fila 1 la dificultad con
la que tropezamos ya anteriormente, es
decir, la imposibilidad de cambiar una
ficha B por 5 fichas A.  Nada nos impide
entonces, bajar a un nivel inferior, con
otra yupana o sin ella, para volver luego
a colocar las fichas en su sitio cuando
haya espacio.
De ese modo, en la división se va restando
sucesivamente, en cada nivel, el valor del
divisor, el número de veces que sea necesario.
CONCLUSIÓN
El empleo de la Yupana moviendo fichas dentro
de los casilleros, era una manera de contar
sumamente práctica e, indudablemente, mucho
más fácil que nuestro sistema de hacer las
operaciones aritméticas con lápiz y papel,
puesto que tenía la ventaja de no requerir de
tablas de calcular memorizadas ni de tener
que hacer mentalmente las sumas y restas de
los productos parciales de las operaciones.
Actualmente su uso evitaría a muchos de
nuestros escolares no muy inclinados a las
matemáticas, la ingrata obligación de aprender
de memoria la tabla pitagórica y, más que todo,
el engorro de tener que contar con los dedos.

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